Física II · Dinâmica de rotação
Três bastões idênticos. Seis quilos em cada um. A balança não distingue nenhum deles — mas o eixo de rotação distingue, e muito. Onde a massa está importa mais do que quanta massa existe.
Bancada — mesmo torque aplicado aos três
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Vista de cima, o eixo apontando para você. O mesmo torque parte do repouso nos três — τ = 1 N·m. C ganha porque tem menos inércia rotacional, não menos massa: os três pesam exatamente 6 kg. O tamanho de cada bolinha é proporcional à massa.
Enunciado
Suponhamos um conjunto de três bastões rígidos de 1 m de comprimento e massa desprezível, mas muito resistentes. Os chamaremos de bastões A, B e C. Eles são presos pelo centro em um eixo que gira com velocidade angular constante.
Neles, em primeiro lugar são inseridos 3 kg de massa em cada extremidade do bastão A. Em segundo lugar, inserimos 1,5 kg em cada ponta, e mais 1,5 kg entre a extremidade e o eixo de giro no bastão B. Por fim, inserimos 1 kg nas extremidades e 1 kg a cada terço da distância até o eixo de rotação do bastão C.
Percebam que, após fazer isso, colocando cada um dos três bastões em uma balança, temos a mesma leitura de massa total: 6 kg. Vamos calcular o momento de inércia em cada caso?
O bastão é preso pelo centro, então o eixo passa pelo meio e cada braço mede 0,5 m. Tudo que precisamos é a distância de cada massa até o eixo — as duas metades são simétricas, então basta calcular um lado e dobrar.
Em C, "a cada terço da distância até o eixo" significa dividir o braço de 0,5 m em três partes iguais de 1/6 m. Isso dá massas em 1/6 m, 2/6 m e 3/6 m de cada lado — seis massas de 1 kg, igualmente espaçadas, exatamente como na figura.
| Bastão | Massas por lado | Distância r | Total |
|---|---|---|---|
| A | 1 × 3 kg | 0,500 m | 6 kg |
| B | 1 × 1,5 kg 1 × 1,5 kg | 0,500 m 0,250 m | 6 kg |
| C | 1 × 1 kg 1 × 1 kg 1 × 1 kg | 0,500 m 0,333 m 0,167 m | 6 kg |
A matéria por trás
Inércia, na translação, é a teimosia de um corpo em manter seu estado de movimento. É por isso que empurrar um caminhão é mais difícil que empurrar um carrinho: quanto maior a massa, maior a resistência à mudança de velocidade. A massa é a medida da inércia translacional.
Momento de inércia (símbolo I) é a mesma ideia, mas para giro: é a teimosia de um corpo em mudar seu estado de rotação. E aqui aparece a diferença que o problema quer te ensinar — na rotação, não basta saber quanta massa existe. Importa onde ela está em relação ao eixo.
Pense em uma porta. Empurre perto da maçaneta e ela gira fácil. Empurre perto da dobradiça e você precisa de muito mais força. A porta é a mesma, a massa é a mesma — o que mudou foi a distância ao eixo. O momento de inércia captura isso numericamente.
Cada grandeza da translação tem uma prima na rotação. Reconhecer o par é metade da matéria:
Ou seja: I ocupa exatamente o lugar que m ocupava. Onde na translação você escrevia massa, na rotação você escreve momento de inércia. É a mesma física, reescrita para quem gira.
Essa é a parte que costuma ser decorada sem ser entendida. A fórmula não é I = m · d² por convenção — o quadrado aparece sozinho quando você faz a conta. Vamos ver de onde ele sai.
Pegue uma única partícula de massa m presa a uma distância r do eixo, girando com velocidade angular ω. Ela descreve uma circunferência, e sua velocidade linear é:
Agora escreva a energia cinética dela, que é a fórmula de sempre:
Compare a última linha com K = ½ m v². A estrutura é idêntica, com ω no lugar de v — e, no lugar de m, apareceu o bloco m r². Esse bloco é o momento de inércia da partícula.
Repare que o quadrado tem duas origens independentes: um r vem de v = ωr, e outro r vem de elevar essa velocidade ao quadrado na energia. Não é um expoente arbitrário — são dois fatores de distância que se multiplicam.
Dá para chegar no mesmo lugar pelo torque, se você preferir a rota da dinâmica: τ = r F = r (m a) = r (m α r) = m r² α. De novo, um r do braço de alavanca e outro da relação a = α r. O mesmo m r².
Para um conjunto de partículas, os momentos de inércia simplesmente somam:
Leia em voz alta assim: para cada pedaço de massa, multiplique a massa pelo quadrado da sua distância até o eixo; depois some tudo. A unidade sai naturalmente do produto: kg · m². Não tem nome próprio, e isso é útil — a unidade já conta o que a grandeza é.
Três consequências que valem mais que a fórmula:
• Massa sobre o eixo (r = 0) não contribui nada. Zero vezes qualquer coisa é zero.
• Dobrar a distância quadruplica a contribuição. Triplicar multiplica por nove.
• I não é propriedade só do corpo — é do corpo em relação a um eixo. Muda o eixo, muda o I.
Já que r² é literalmente a área de um quadrado de lado r, dá para desenhar a contribuição de cada massa. Abaixo, as três posições de um lado do bastão C — massas iguais, 1 kg cada:
As distâncias estão na razão 1 : 2 : 3. As áreas, na razão 1 : 4 : 9. Com massas iguais, a bolinha da ponta sozinha responde por quase dois terços da inércia daquele lado — e a mais interna é quase irrelevante.
Cálculo
Como o bastão tem massa desprezível, ele não entra na conta — só as massas presas nele. E como a distribuição é simétrica, calculo um lado e multiplico por 2.
IA = 1,5 kg·m²
Este é o maior valor possível para 6 kg neste bastão. Não existe arranjo com mais inércia, porque 0,5 m já é a maior distância disponível — não dá para colocar massa mais longe do eixo do que a ponta.
IB = 0,9375 kg·m²
Repare no desequilíbrio: as massas internas têm o mesmo peso das externas, mas contribuem com apenas 0,1875 contra 0,75. Metade da distância, um quarto da contribuição.
IC ≈ 0,778 kg·m²
Em decimais: 2 · (0,25 + 0,1111 + 0,0278) = 2 · 0,3889 = 0,7778 kg·m². Usar frações com denominador 36 evita arredondar 1/3 no meio da conta.
Leitura dos resultados
A balança lê 6 kg nos três. O eixo de rotação lê coisas bem diferentes:
| Bastão | Distribuição | I (kg·m²) | Relativo a A |
|---|---|---|---|
| A | 2 × 3 kg nas pontas | 1,5000 | 100,0% |
| B | 4 × 1,5 kg (0,50 e 0,25 m) | 0,9375 | 62,5% |
| C | 6 × 1 kg (0,50 / 0,33 / 0,17 m) | 0,7778 | 51,9% |
O bastão A precisa de quase o dobro do torque que C para ganhar velocidade angular na mesma taxa. Girando na mesma velocidade ω, A armazena quase o dobro de energia cinética. E, para frear, A exige quase o dobro de esforço.
É exatamente o que o patinador no gelo explora: braços abertos, massa longe do eixo, I grande e giro lento. Braços recolhidos, massa perto do eixo, I despenca — e como o momento angular L = I ω se conserva, ω dispara. Ele não perdeu massa, só a reposicionou.
Vale registrar um limite útil: se toda a massa estivesse sobre o eixo, teríamos I = 0. Se toda ela estivesse nas pontas, I = 1,5. Qualquer arranjo de 6 kg neste bastão cai entre 0 e 1,5 — e os três resultados respeitam isso.
Dimensional: [m][r²] = kg · m². Bate com a unidade de momento de inércia. Se sua conta terminar em kg·m ou kg/m², algum r perdeu ou ganhou expoente.
Ordem de grandeza: os três estão entre 0 e 1,5 kg·m², como exige o limite acima. Nenhum passou do máximo teórico.
Ordenação esperada: quanto mais a massa é puxada para dentro, menor o I. A ordem A > B > C acompanha exatamente o quanto cada arranjo concentra massa perto do eixo. Se der invertido, a conta está errada.
Comparação com o caso contínuo: um bastão homogêneo de 6 kg e 1 m girando pelo centro tem I = ML²/12 = 0,5 kg·m². C, com seis massas espalhadas, dá 0,778 — maior, e faz sentido: as massas discretas de C ficam empurradas para fora em vez de preencherem uniformemente o comprimento.